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证明e^x>1+x
求证
:当
X>
0时,(
1+
1/X)的
x
次方<
e
答:
令t=1/x,<=> 当t>0时,ln(
1+
t)<t 构造函数f(t)=ln(1+t)-t,f(0)=0,f'(t)=1/(1+t)-1<0,故f(t)在[0,+∞)上单调递减 即当t>0时,f(t)<f(0),ln(1+t)-t<0 即ln(1+t)<t 故
x>
0时,ln(1+1/x)<1/x x>0 时,(1+1/x)
^x
<
e
...
高数不等式
证明
题
答:
令f(x)=
e^x
-1-x-
1+
cosx,则f'(x)=e^x-1-sinx,当x>0时,sinx<x,所以f'(x)>e^x-1-x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)>f(0)=0,即e^x-1-
x>1
-cosx
求证
:当
x>
0 时,(
1+
1/x)
^x
<
e
求证:当x>0 时,(1+1/x)^x < e
答:
1+
1/x)<1/x,所以问题转换为
证明
:当t>0时,ln(1+t)<t 令f(t)=ln(1+t)-t,f(0)=0,f'(t)=1/(1+t)-1<0,所以f(t)在[0,+∞)上单调减少,所以t>0时,f(t)<f(0),即ln(1+t)<t 所以,
x>
0时,ln(1+1/x)<1/x,所以x>0 时,(1+1/x)
^x
<
e
...
利用单调性
证明e^
2x<
1+x
/1-x (0<x<1)
答:
e^
(2x)>0.∴一阶导函数f'(x)在[0,1)上递增。∴恒有f'(x)>f'(0)=0 即当0<x<1时,恒有f'(x)>0 ∴在(0,1)上,函数f(x)递增。∴此时恒有f(x)>f(0)=0 即在区间(0,1)上,恒有f(x)>0 即有
x+
1+(x-1)e^(2x)>0 整理可得 e^(2x)<(
1+x
)/(1-x)...
用初等方法
证明E^x
-
1
的等价无穷小量是x.
答:
做代换
e^x
-1=y x=ln(y+1) x→0时 y→0 x→0 (e^x-1)/x =y/ln(
1+
y)=1/(ln(1+y)/y)=1/ln(1+y)^(1/y)=1/ln(1+1/(1/y))^1/y =1/lne =1/1 =1 只用到了极限的四则运算法则和当x→∞时 (1+1/x)^x→e 应该最基础了 ...
证明e^x
-x^2-
1>
0
答:
h(x)=
e^x
-1-x-x^2/2 h'(x)=e^x-1-x=g(x)g'(x)=e^x-
1>
g'(0)=1-1=0这是递增函数 h'(x)=e^x-1-x=g(x)>g(0)=1-1-0=0 所以h(x)是递增的 h(x)>h(0)=0
判断并
证明
函数f(x)=
e^x+
e^-x在区间(0,+∞)上的单调性
答:
分类讨论,1.
1>
e>0,由题意得f(x)=
e^x+
1/e^-x,所以f(x)大于等于2,因为1>e>0,所以f(x)单调递,减。2.e
>1
,由题意得f(x)=e^x+1/e^-x,所以f(x)大于等于2,因为e>1,所以f(x)单调递增。
e的πi次方等于多少
答:
由欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx(e是自然对数的底,i是虚数单位)可以得到:e^(πi)=cosπ+isinπ=-1。e^ix=cosx+isinx的
证明
:因为
e^x
=
1+x
/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的...
lim(
1+
1/
x
)∧x=
e证明
过程是什么?
答:
具体回答如下:im (
1+
1/x)
^x
。=lim
e^
[ ln ((1+1/x)^x)] 。= e^ lim [ x ln (1+1/x)]。x-->无穷大 1/x--> 0。此时,ln (1+1/x) = 1/x (等价无穷小)。lim [ x ln (1+1/x)] = x * 1/x = 1。原式= e^ 1 = e。极限的求法有很多种:1、连续...
lim(
1+
1/
x
)∧x=
e证明
过程是什么?
答:
lim (
1+
1/x)
^x
。=lim
e^
[ ln ((1+1/x)^x)] 。= e^ lim [ x ln (1+1/x)]。x-->无穷大 1/x--> 0。此时,ln (1+1/x) = 1/x (等价无穷小)。lim [ x ln (1+1/x)] = x * 1/x = 1。原式= e^ 1 = e。极限的求法有很多种:1、连续初等函数,在定义...
棣栭〉
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12
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